半无限规划的有效数值算法研究

【摘要】半无限规戈(Semi-InfiniteProgramming,简写为SIP)不仅在工程设计、最优控制、信息技术、经济均衡等领域有着广泛而直接的应用,而且对Chebyshev逼近理论、数学物理、模糊集、鲁棒优化等学术方面起着重要作用.因此,研究半无限规划的有效数值算法具有很强的应用价值,在国际上已引起学者们极大的关注和研究.许多学者利用光滑非线性规划的技术提出了求解半无限规划的各种算法,其中很多是基于非线性规划中的罚函数方法进行设计.罚函数方法具有初始点任意、结构简单、在适当的条件下可得到算法的收敛性等优点.然而,其罚参数不易调整,迭代点及最终最优解可能不满足可行性要求.为此,简金宝教授在两阶段方法[Polak,1978]、罚函数方法及可行方向法思想的基础上,提出并研究了一类强次可行方向法.该方法的初始点任意选取,能保证迭代点的可行性单调增加,且一旦迭代点落入可行域即可变成可行方向法.近年来,强次可行方向法和序列二次规划(SequentialQuadraticProgramming,简写为SQP)、序列二次约束二次规划(SequentialQuadraticallyConstrainedQuadraticProgramming,简写为SQCQP)、模松弛等技术充分结合,得出了一系列成果,如强次可行模松弛SQP、强次可行模松SQCQP等方法.最近也基于罚函数对强次可行方向法中的线搜索进行了改进,提出了新型强次可行SQP算法.这些算法具有收敛性好、数值稳定性好等优点,其中强次可行方向法和模松弛SQP的部分成果已被应用到斜拉桥索力优化和滤波器组的设计.因此,研究如何将上述强次可行系列算法的优秀思想更好地应用到半无限规划的算法构建,以形成半无限规划一个新的求解体系,具有一定的理论意义和应用价值.本学位论文首先针对半无限规划离散化问题提出了三个新的算法：强次可行模松弛SQP算法、强次可行模松弛SQCQP算法和基于罚函数的新型强次可行SQP算法.然后,基于离散化方法提出了一个求解半无限规划的新型两阶段SQP算法,该算法内迭代本身就是一个求解半无限规划离散化问题的新型两阶段SQP算法.最后,分别基于离散化方法和局部约化方法给出求解半无限规划的两个算法结构,并对第一个基于离散化方法求解半无限规划的算法结构进行收敛性分析.第一章给出了本文的研究背景,简要阐述了半无限规划研究的历史与现状,从算法的主要思想、步骤、相关理论等方面介绍了半无限规划的基本算法,如离散化方法、局部约化方法和交换集方法,并对其他算法进行概述.最后,分析了本文算法设计基础,给出本文的主要研究内容和结构安排.第二章结合模松弛可行SQP算法和强次可行方向法的思想,提出了一个求解半无限规划离散化问题的强次可行模松弛SQP算法.算法的初始点任意选取,每次迭代只需求解一个搜索方向子问题即可获得主搜索方向.通过修正其约束指标集来减少约束个数.基于强次可行方向法的性质,改进了现有SIP可行SQP算法中的约束指标集修正技术,不仅能够保证算法的全局收敛性,而且还大大降低了搜索方向子问题的计算成本,避免了半无限规划离散化问题因约束个数过多造成的数值困难.初步的数值试验说明算法是有效的.此外,通过精心构造高阶校正方向对算法进行改进,使其达到超线性收敛.最后,基于约束指标集的修正技术,将算法推广到离散半无限极大极小问题.第三章提出了一个求解半无限规划离散化问题的强次可行模松弛SQCQP算法.该算法适用于求解半无限规划约束函数非线性程度较高的问题.通过对二次约束二次规划(QuadraticallyConstrainedQuadraticProgramming,简写为QCQP)子问题中约束指标集的修正及约束函数二阶Hessian阵校正技术的精心设计,算法不仅大大减少了QCQP子问题的约束个数,极大降低了其计算成本,还保持了非线性规划中强次可行模松弛SQCQP算法的优点:从任意初始点开始,能保证有限步之后落入可行域;不需要任何校正方向,在适当的条件下,就能证明算法的全局和超线性收敛性.数值试验表明算法是稳定有效的.第四章提出了一个求解半无限规划离散化问题的基于罚函数的新型强次可行SQP算法.该算法的特点为:初始点任意选取;根据迭代点偏离可行域的程度,构造了两个搜索方向子问题,并将其形式统一.当迭代点远离可行域时,基于罚函数构建线搜索;反之,基于强次可行方向法的思想构建线搜索.每次迭代算法只需求解一个二次规划(QuadraticProgramming,简写为QP)子问题即可获得搜索方向,通过选择适当的约束指标集可降低计算成本.所构建的新型线搜索比强次可行SQP方法的更具有弹性.在较温和的条件下,可以证明该算法具有全局收敛性.数值试验表明算法是有效的.第五章基于离散化方法提出了一个求解半无限规划的新型两阶段SQP算法.首先给出了算法的内迭代算法,该算法本身就是一个求解半无限规划离散化问题的新型两阶段SQP算法,初始点可任意选取,所构建的QP子问题结构简单,通过选择合适的约束可大大降低计算成本,线搜索基于两阶段方法构建.在适当的条件下,可证明算法具有全局收敛性.数值试验表明算法是有效的.最后,基于离散化方法,将上述算法作为内迭代,提出了一个求解半无限规划的新型两阶段SQP算法,并给出收敛性结果.第六章基于本文前面几章提出的求解半无限规划离散化问题的算法构建求解半无限规划算法.首先基于离散化方法提出一个求解半无限规划的算法结构,其内迭代可选取本文前面几章提出的求解半无限规划离散化问题的算法.在较温和的条件下,证明了该算法具有全局收敛性.最后,基于局部约化提出一个求解半无限规划的两阶段算法结构.算法的第一阶段采用前面几章提出的求解半无限规划离散化问题的算法求得SIP的近似解,第二阶段以此近似解作为初始点求解SIP的局部既约问题,从而获得原SIP问题的最优解.第七章对本文的工作进行总结,并提出可进一步研究的问题.最后,需要指出的是,本文提出的求解半无限规划离散化问题的四个算法可获得原半无限规划问题的近似解,在精度要求不高时可直接应用,其理论依据见§6.1.2节.在精度要求高时,可将其获得的近似解作为另外一种方法的初始点进一步构建SIP算法,如§6.2节提出的基于局部约化的求解SIP的两阶段算法.
【作者】徐庆娟；
【导师】简金宝；
【作者基本信息】上海大学，运筹学与控制论，2014，博士
【关键词】半无限规划；离散化方法；强次可行方向法；模松弛；SQP；SQCQP；收敛性；

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